由上述两项定理，我们可得：04、14、26、1899、……等等等等，因此，我们可以引入一个新的定义
对于任意n，，如果n，则n。
这样，我们不仅仅把所有由自然数组成的集合进行了处理，而且也建立了它们的良序排列。
定理3对于任意n，，下述三个式子恰有一个成立：
也就是
n，n，n。1
或
n，n，n。2
在1和2之中必有一个成立，满足1的称之为三歧性。
由1我们可以断定存在三歧性，由于的传递性，所以我们可以断定每一个自然数都有三歧性。
3公理集合论有关序数的定义。
10是序数。
2若a是一序数，则a是一序数。
3若s是序数的一集合即s的元都是序数>，则s是一序数s。
4任一序数都是经123获得的。
每一自然数都是序数，并且是一序数。
对于任意自然数n，n是一序数。
nn。
是一序数。
证明：
首先证明nn是一集合。令n，n，n。不难验证是类函数，并且有
rannn。
由替换公理，nn是一集合，由于它所有元素都是序数，所以由3可得是一序数。
依照上述过程，我们可有序数1、2、……、、……等等等等，并且令2，3，……，对于任意自然数n都存在n，并且令nn。
仿照上述过程，可有证明2，这一过程可以一直进行下去，获得相当复杂的序数，例如3、4、……、、……等等等等，都是序数，还可以获得更复杂的序数比如说序数、序数、……、不可递归序数、归第不可达序数、稳定序数、反射序数、……等等等等，无止境无休止。。
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